問(wèn)題描述：在CSiBridge和SAP2000中變截面的參數(shù)設(shè)置對(duì)話框如下圖所示。其中包含“EI33變化”和“EI22變化”，這些參數(shù)具體會(huì)在有限元層級(jí)產(chǎn)生什么影響? 高度較大的變截面橋墩對(duì)變截面的設(shè)置較為敏感，如何定義變截面才能精確地模擬變截面高墩的剛度?
解答：
在CSiBridge和SAP2000中都引入了對(duì)象的概念，一個(gè)對(duì)象一般對(duì)應(yīng)實(shí)際工程中的一個(gè)梁或柱。一個(gè)梁或柱對(duì)象可能包含一個(gè)或多個(gè)框架有限元單元。所以框架截面屬性是先指定配給梁或柱對(duì)象，再自動(dòng)分配給其包含的有限元單元，進(jìn)而生成剛度矩陣。
顧名思義參數(shù)“EI33變化”和“EI22變化”是指截面沿22軸和33軸的抗彎剛度的變化規(guī)律，可選項(xiàng)為linear、parabolic和cubic，即按線性、二次和三次規(guī)律變化。在有限元單元層面，EI33和EI22變化函數(shù)是單元?jiǎng)偠确e分公式中所必需的參數(shù)，它們會(huì)直接影響單元矩陣的取值[1]。
為了驗(yàn)證以上結(jié)論，建立如圖1所示的模型。模型中有多個(gè)高20m的變截面柱。截面均為矩形，頂部截面1×2m，底部截面5×2m，梁高線性變化。柱底固接，柱頂部施加10000KN的水平力。Y坐標(biāo)相同的柱被賦予相同的變截面。變截面名稱分別為“l(fā)inear”、“parabolic”和“cubic”，三個(gè)變截面屬性中其他參數(shù)均相同，僅剛度變化分別設(shè)為linear、parabolic和cubic，具體設(shè)置如圖2所示。X坐標(biāo)相同的柱具有相同的單元?jiǎng)澐址绞?。第一排柱?duì)象不進(jìn)行單元?jiǎng)澐郑坏诙挪捎酶呒?jí)>指定>框架>自動(dòng)框架劃分，將柱對(duì)象劃分為8個(gè)單元；第三排采用高級(jí)>編輯>線>分割框架，將柱對(duì)象劃分為8個(gè)單元。有限元分析模型如圖3所示。計(jì)算結(jié)果中各個(gè)柱頂部節(jié)點(diǎn)位移如圖4所示。
圖1 模型外觀圖
圖2 各截面剛度變化參數(shù)設(shè)置
圖3 有限元分析模型圖
圖4 各柱頂部節(jié)點(diǎn)水平位移
由圖4中可以看到僅包含一個(gè)單元的柱對(duì)象頂部節(jié)點(diǎn)，即1、3、5號(hào)節(jié)點(diǎn)的水平位移并不相同。說(shuō)明了剛度變化規(guī)律參數(shù)會(huì)決定有限元層面上變截面單元的單元?jiǎng)偠染仃?；然而不論采用什么方式將柱?duì)象劃分為多個(gè)單元，對(duì)柱頂部節(jié)點(diǎn)的位移沒有影響。說(shuō)明該案例中的變截面屬性設(shè)置將剛度按線性、二次和三次變化的假定擴(kuò)展到了整個(gè)構(gòu)件。
在商業(yè)工程有限元軟件中通常為了獲得確定并易于計(jì)算的單元?jiǎng)偠染仃嚕瑢?duì)于單元內(nèi)部的剛度變化規(guī)律只提供線性、二次和三次三種假定。這些剛度變化規(guī)律假定只有在特定的情況下與解析解相同。如矩形截面的慣性矩公式如下：
I=(bh3)/12
則梁高沿軸向線性變化時(shí)，抗彎剛度按三次函數(shù)變化；梁寬沿軸向線性變化時(shí)，抗彎剛度按線性函數(shù)變化。所以該算例中選擇“cubic”變截面所得的結(jié)果為精確解，選擇“l(fā)inear”變截面的墩頂位移與之相差將近50%，所以對(duì)于高墩來(lái)說(shuō)剛度變化與實(shí)際不符會(huì)產(chǎn)生不可接受的誤差。
對(duì)于實(shí)際工程中會(huì)涉及到的很多變截面高墩，如空心變截面橋墩、幾何尺寸不按線性變化的截面。以上案例中變截面中的設(shè)置會(huì)將原本僅用于有限元單元內(nèi)部的剛度變化規(guī)律擴(kuò)展至整個(gè)構(gòu)件，模擬方式是不可取的。
對(duì)于復(fù)雜的變截面高墩，應(yīng)該建立多個(gè)中間截面以正確模擬構(gòu)件剛度。再建立與上個(gè)案例相同的三個(gè)變截面柱。新模型變截面屬性中將柱對(duì)象平均分為4段，并手動(dòng)定義分段位置的中間截面。三個(gè)變截面屬性修改如圖5所示。其中截面2、3、4是對(duì)應(yīng)位置的中間截面，矩形截面高沿軸線線性變化。模型外觀和有限元分析模型如圖6、7所示。
圖5 修改后的版截面屬性
圖6 模型外觀圖
圖7 新有限元分析模型
圖8 新模型頂點(diǎn)位移計(jì)算結(jié)果
由上文可知采用“cubic-G”截面的計(jì)算結(jié)果為精確解。圖8中可以看出在設(shè)置了中間截面之后，每個(gè)單元內(nèi)部的剛度變化規(guī)律取不同值對(duì)結(jié)果的影響并不大。
結(jié)論
總結(jié)上文可以得到以下結(jié)論：
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“EI33變化”和“EI22變化”（線性、二次和三次）是程序?yàn)榱说玫酱_定的單元?jiǎng)偠染仃囁俣ǖ膯卧獌?nèi)部抗彎剛度變化規(guī)律。
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高墩構(gòu)件的實(shí)際剛度變化規(guī)律通常較為復(fù)雜，難以用線性、二次和三次近似。但是如果用戶在變截面中只定義了起始和終止截面，程序會(huì)將以上假定拓展至整個(gè)構(gòu)件。這與實(shí)際情況不符，會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算偏差。即使將構(gòu)件劃分為多個(gè)單元也不會(huì)改善分析精度。正確的做法是在定義變截面時(shí)輸入構(gòu)件的中間截面，以描述截面的具體幾何變化。
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定義足夠數(shù)量的中間截面后，各中間節(jié)段“EI33變化”和“EI22變化”的設(shè)置對(duì)結(jié)果影響較小。如可以推算剛度變化解析解（如矩形截面僅梁高或梁寬按線性變化時(shí)）可按解析解設(shè)置。但通常需要按經(jīng)驗(yàn)設(shè)置，如工程中常用的空心截面一般推薦使用二次變化。
參考文獻(xiàn)
[1]陳偉平,肖承初. 變截面梁的有限元計(jì)算分析[J]. 中國(guó)水運(yùn)(下半月),2011,06:237-238.