問題描述：在CSiBridge和SAP2000中變截面的參數(shù)設(shè)置對話框如下圖所示。其中包含“EI33變化”和“EI22變化”，這些參數(shù)具體會在有限元層級產(chǎn)生什么影響? 高度較大的變截面橋墩對變截面的設(shè)置較為敏感，如何定義變截面才能精確地模擬變截面高墩的剛度?
解答：
在CSiBridge和SAP2000中都引入了對象的概念，一個對象一般對應(yīng)實際工程中的一個梁或柱。一個梁或柱對象可能包含一個或多個框架有限元單元。所以框架截面屬性是先指定配給梁或柱對象，再自動分配給其包含的有限元單元，進(jìn)而生成剛度矩陣。
顧名思義參數(shù)“EI33變化”和“EI22變化”是指截面沿22軸和33軸的抗彎剛度的變化規(guī)律，可選項為linear、parabolic和cubic，即按線性、二次和三次規(guī)律變化。在有限元單元層面，EI33和EI22變化函數(shù)是單元剛度積分公式中所必需的參數(shù)，它們會直接影響單元矩陣的取值[1]。
為了驗證以上結(jié)論，建立如圖1所示的模型。模型中有多個高20m的變截面柱。截面均為矩形，頂部截面1×2m，底部截面5×2m，梁高線性變化。柱底固接，柱頂部施加10000KN的水平力。Y坐標(biāo)相同的柱被賦予相同的變截面。變截面名稱分別為“l(fā)inear”、“parabolic”和“cubic”，三個變截面屬性中其他參數(shù)均相同，僅剛度變化分別設(shè)為linear、parabolic和cubic，具體設(shè)置如圖2所示。X坐標(biāo)相同的柱具有相同的單元劃分方式。第一排柱對象不進(jìn)行單元劃分；第二排采用高級>指定>框架>自動框架劃分，將柱對象劃分為8個單元；第三排采用高級>編輯>線>分割框架，將柱對象劃分為8個單元。有限元分析模型如圖3所示。計算結(jié)果中各個柱頂部節(jié)點位移如圖4所示。
圖1 模型外觀圖
圖2 各截面剛度變化參數(shù)設(shè)置
圖3 有限元分析模型圖
圖4 各柱頂部節(jié)點水平位移
由圖4中可以看到僅包含一個單元的柱對象頂部節(jié)點，即1、3、5號節(jié)點的水平位移并不相同。說明了剛度變化規(guī)律參數(shù)會決定有限元層面上變截面單元的單元剛度矩陣；然而不論采用什么方式將柱對象劃分為多個單元，對柱頂部節(jié)點的位移沒有影響。說明該案例中的變截面屬性設(shè)置將剛度按線性、二次和三次變化的假定擴(kuò)展到了整個構(gòu)件。
在商業(yè)工程有限元軟件中通常為了獲得確定并易于計算的單元剛度矩陣，對于單元內(nèi)部的剛度變化規(guī)律只提供線性、二次和三次三種假定。這些剛度變化規(guī)律假定只有在特定的情況下與解析解相同。如矩形截面的慣性矩公式如下：
I=(bh3)/12
則梁高沿軸向線性變化時，抗彎剛度按三次函數(shù)變化；梁寬沿軸向線性變化時，抗彎剛度按線性函數(shù)變化。所以該算例中選擇“cubic”變截面所得的結(jié)果為精確解，選擇“l(fā)inear”變截面的墩頂位移與之相差將近50%，所以對于高墩來說剛度變化與實際不符會產(chǎn)生不可接受的誤差。
對于實際工程中會涉及到的很多變截面高墩，如空心變截面橋墩、幾何尺寸不按線性變化的截面。以上案例中變截面中的設(shè)置會將原本僅用于有限元單元內(nèi)部的剛度變化規(guī)律擴(kuò)展至整個構(gòu)件，模擬方式是不可取的。
對于復(fù)雜的變截面高墩，應(yīng)該建立多個中間截面以正確模擬構(gòu)件剛度。再建立與上個案例相同的三個變截面柱。新模型變截面屬性中將柱對象平均分為4段，并手動定義分段位置的中間截面。三個變截面屬性修改如圖5所示。其中截面2、3、4是對應(yīng)位置的中間截面，矩形截面高沿軸線線性變化。模型外觀和有限元分析模型如圖6、7所示。
圖5 修改后的版截面屬性
圖6 模型外觀圖
圖7 新有限元分析模型
圖8 新模型頂點位移計算結(jié)果
由上文可知采用“cubic-G”截面的計算結(jié)果為精確解。圖8中可以看出在設(shè)置了中間截面之后，每個單元內(nèi)部的剛度變化規(guī)律取不同值對結(jié)果的影響并不大。
結(jié)論
總結(jié)上文可以得到以下結(jié)論：
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“EI33變化”和“EI22變化”（線性、二次和三次）是程序為了得到確定的單元剛度矩陣所假定的單元內(nèi)部抗彎剛度變化規(guī)律。
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高墩構(gòu)件的實際剛度變化規(guī)律通常較為復(fù)雜，難以用線性、二次和三次近似。但是如果用戶在變截面中只定義了起始和終止截面，程序會將以上假定拓展至整個構(gòu)件。這與實際情況不符，會產(chǎn)生較大的計算偏差。即使將構(gòu)件劃分為多個單元也不會改善分析精度。正確的做法是在定義變截面時輸入構(gòu)件的中間截面，以描述截面的具體幾何變化。
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定義足夠數(shù)量的中間截面后，各中間節(jié)段“EI33變化”和“EI22變化”的設(shè)置對結(jié)果影響較小。如可以推算剛度變化解析解（如矩形截面僅梁高或梁寬按線性變化時）可按解析解設(shè)置。但通常需要按經(jīng)驗設(shè)置，如工程中常用的空心截面一般推薦使用二次變化。
參考文獻(xiàn)
[1]陳偉平,肖承初. 變截面梁的有限元計算分析[J]. 中國水運(下半月),2011,06:237-238.